SUSTITUCION TRIGONOMETRICA (MATEMATICAS)

SUSTITUCION TRIGONOMETRICA.

A menudo es posible hallar la anti derivada de una función cuando el integrando presenta expresiones de la forma:

Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cuál debe ser la sustitución:

Expresión en el integrando	Sustitución trigonométrica

SUSTITUCION POR PARTES.

El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.

Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.

Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES.

•       1er caso.  Todos los factores del denominador son de primer grado. Si no se repiten los factores la descomposición en fracciones parciales es de la forma:

•       en el caso que uno de los factores se repita n veces tendremos que desarrollar para ese caso una descomposición de la siguiente forma:

•       Segundo caso. El denominador tiene factores de segundo grado.

De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, si los factores son de la forma     y además no se repiten, a todo factor corresponderá una fracción parcial de la forma:

METODO DE INTEGRACION POR SUSTUTUCION DE UNA NUEVA VARIABLE.

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

 

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical:

Cambios de variables usuales

1.

2.

3.

4.

5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

6. Si  es par:

7. Si   no es par: