martes, 14 de febrero de 2012

RELACIONES Y FUNCIONES, Y DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN


Hola a todos.
El día de hoy les ponemos unos breves resúmenes de Relaciones y Funciones, y Dominio y Rango.
Espero que sean de su agrado y les ayude en el estudio de estos temas :)

RELACIONES Y FUNCIONES.

Relación.

Una relación en los reales es una regla de correspondencia que asocia a cada número real “x” de un conjunto de partida A—R (llamado dominio de la relación) uno o más números reales “y” de un conjunto de llegada B—R (llamado contradominio)

Se pueden expresar y ver de diferentes formas.

1) En forma verbal.
Se describe la relación en lenguaje materno lo mas precisa posible para poderla escribir, como     por ejemplo, “un numero real “y” es igual al cuadrado de otro numero “x” mas una unidad.

2) En forma de ecuación algebraica:
Y= +1

3) En forma numérica o de tabla:
Es un arreglo que puede ser en forma horizontal o vertical y en donde en el primer renglón o primera columna, se ubican algunos valores reales del primer número “x” y en el segundo renglón o columna se ubican los valores del numero “y”.

4) En forma grafica.
En esta representación puede aplicarse el método que consiste en aprovechar los resultados de los incisos 2) y 3), localizando sobre el plano cartesiano loa puntos obtenidos en la tabla del inciso 3) y uniéndolos con línea continua, para obtener un bosquejo de la relación, que solo es una parte de la grafica, ya que mientras más valores le demos, más crece esta.

Relación Implícita.
Esta expresada en forma algebraica y es aquella en donde no está despejada ninguna de sus variables.


Relación Explicita.
Se dice que es explicita cundo alguna de sus variables se encuentra despejada.



Función.

Una función real de variable real, es una regla de correspondencia que asocia a cada número real “x” de un conjunto de partida A—R un único número real “f(x)” de un conjunto de llegada B—R.

Cabe resaltar que las funciones pertenecen a las relaciones, por lo que cualquier función es relación, pero no cualquier relación es función.

Una regla de correspondencia de una función real de variable real generalmente se da por medio de una o más formulas matemáticas y se representa con f(x).
El conjunto de partida A es el dominio de la función, el conjunto de llegada B se le llama codominio o contradominio y al conjunto de los elementos “f(x)” de B se llama rango o imagen de la función.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN


Dominio de una función: Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” (variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal (abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha.
El dominio de una función está formado por aquellos valores de “X” (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).
Rango de una función: Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X". Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba.
El Rango de una función es el conjunto formado por las imágenes f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha función.

FUNCIONES POLINÓMICAS:
Aquellas funciones cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los números reales
Son funciones polinómicas: La recta (función lineal o afín), la parábola (función de segundo grado) y los polinomios de grado superior.

FUNCIONES RACIONALES:
Para calcular el dominio de este tipo de funciones el primer paso es igualar el denominador a cero y resolver esa ecuación, una vez resuelta esa ecuación el dominio estará formado por todos los reales excepto las soluciones de la ecuación.

FUNCIONES IRRACIONALES:
Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente.
Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de X siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando.
Pero si el radical tiene índice par, para los valores de X que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen.

FUNCIONES EXPONENCIALES:
Son aquellas funciones del tipo f(x) = donde “a” debe ser un número mayor que cero y distinto de 1…( a > 0 ; a )
Todas las funciones exponenciales tienen como Dominio todos los números reales.
Dom f(x) = R
Todas las funciones exponenciales tienen como Rango todos los números reales positivos sin incluir el cero.
Rango = (0, + ∞)

FUNCIONES LOGARÍTMICAS:
Los logaritmos de números negativos y el de 0 no existen. Luego, todas las expresiones a las que se le pretenda calcular su logaritmo deben ser mayores a cero.
El procedimiento para calcular su dominio es bastante similar al de las funciones irracionales. Tomamos lo que hay dentro del logaritmo y hacemos que sea mayor que cero. A continuación resolvemos la inecuación y la solución nos da el dominio.
El Rango estará representado por el conjunto de todos los números reales.



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