La integración: concepto fundamental de las matemáticas avanzadas como los campos del cálculo y
del análisis matemático.
Una integral es una suma de infinitos pequeños sumandos.
Cálculo
integral: rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti
derivación, utilizado principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de
regiones y sólidos de revolución.
Usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René
Descartes, Isaac Newton, Gottfried
Leibniz e Isaac Barrow.
Las aportaciones de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo
integral, que propone que la derivación y la integración son
procesos inversos.
Los principios de la integración fueron
formulados por Newton y Leibniz a
finales del siglo XVII.
A través del teorema fundamental del cálculo,
la integración se conecta con la derivación,
y una vez se conoce una anti derivada la integral definida de una función se
puede calcular. Las integrales y las derivadas son herramientas básicas del cálculo.
Riemann se baso en un límite que
aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos
verticales. A comienzos del siglo XIX,
aparecieron nociones más sofisticadas de la integral, donde se generaliza los
tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de
dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b] se
sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del
espacio.
Las integrales de las formas
diferenciales surgieron
a partir de las necesidades de la física
son fundamental en la geometría diferencial moderna, importantes en la formulación
de leyes físicas cómo: las del electromagnetismo.
Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática
abstracta la integral de Lebesgue, desarrollada por Henri
Lebesgue.
Se dice que es integrable si una función tiene una integral,. De la función de la
cual se calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integración a
la región sobre la cual se integra la función, si no la tiene, se considera
indefinida. El integrando puede ser una función de más de una variable, y el
dominio de integración puede ser un área, un volumen, una región de dimensión
superior, o un espacio abstracto que no tiene estructura geométrica en ningún
sentido usual.
La integral de una función real f de una variable real x sobre el intervalo [a, b], se escribe
El signo ∫ representa la
integración; a y b son el límite inferior y el límite superior de
la integración y definen el dominio de la integración; f=integrando, que y dx tiene diferentes interpretaciones
dependiendo de la teoría que se use.
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