Métodos de Integración (FERITZ)

Sustitución trigonométrica

Este método nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas.

Si en el integrando aparece un radical de la forma √α²-x² tomamos el cambio de variable x=α senθ, con α>0.

Si un radical tiene la forma √α²+x² se toma el cambio de variable x=α tanθ, con α>0.

Y si un radical tiene forma √x²-α² se toma el cambio de variable x=α secθ, con α>0.

Integración por partes

Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un producto de una función por derivada de otra.

La fórmula que se utiliza para realizar la integración por partes es la siguiente:

∫f (x)g'(x) dx = f (x)g(x) + ∫f '(x)g(x) dx

Integración por fracciones parciales

La idea de este método es descomponer la función racional en fracciones simples que pueden calcularse por medio de descomposición en fracciones parciales de la función racional considerada.

Si f(x)/g(x) es una función racional impropia se puede dividir, quedando

f(x)/g(x) = Q(x) + R(x)/g(x)

Donde Q es un polinomio (cociente de la división) y R(x) es el resto de la división, de esta forma toda función racional se puede escribir como la suma de un polinomio con una función racional propia.

Integración por sustitución de una nueva variable

Este método se basa en la derivada de la función compuesta.

∫ f’(u)·u’dx = F(u)+C

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

∫ f’(u)·u’dx = F(u)+C

1. Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos

t=u

dt=u’dx

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

∫ f’(t)·u’ dt/u’ = ∫ F’(t)dt

2. Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

∫ f’(t)dt = f(t)+C

3. Se vuelve a la variable inicial:

∫ f(t)= f(u)+C