La Integral ( FERITZ )

La Integral

Una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. Es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas.

El Calculo Integral

Es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en las matemáticas en general.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

La palabra “integral” también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f . En este caso se le denomina integral indefinida.

Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez que se conoce la intiderivada.

A comienzos del siglo XIX, se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. 

Integral Curvilínea

Se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a, b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio.

Integral de Superficie

En esta la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional. 

Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Surgieron a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de leyes como las del electromagnetismo.

Henri Lebesgue

El desarrollo una teoría matemática abstracta conocida como “Integral de Lebesgue”. De esta se basan los conceptos modernos de integración.

* Si una función tiene una integral, se dice que es integrable.

* De la función de la cual se calcula la integral se dice que es el integrando.

* Se denomina dominio de integración a la región sobre la cual se integra la función.

* Si la integral no tiene un dominio de integración, se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida).

* En general, el integrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio de integración puede ser un área, un volumen, una región de dimensión superior, o incluso un espacio abstracto que no tiene estructura geométrica en ningún sentido usual. 

En el caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real x sobre el intervalo [a, b], se escribe:  

El signo ∫, una "S" alargada, representa la integración; a y b son el límite inferior y el límite superior de la integración y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx puede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee.